untuk memaksimumkan fungsi sasaran 2x + 3 y pada sistem kendala 2x + y < 40, x + 2y < 40, 0 < x < 15, 0 < y < 16. digunakan garis selidik yang mempunyai persama

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Program Linear
Kata Kunci : model, matematika, fungsi, optimum

Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).

Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).

Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.

Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut.
Untuk memaksimumkan fungsi sasaran 2x + 3y pada sistem kendala 2x + y < 40, x + 2y < 40, 0 < x < 15, 0 < y < 16 digunakan garis selidik yang mempunyai persamaan...

Jawab :
Perhatikan gambar terlampir.

Dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik-titik potong dari garis-garis
2x + y = 40 ... (a)
x + 2y = 40 ... (b)

Kita eliminasi y, diperoleh
2x + y = 40 |.2|
x + 2y = 40 |.1|

4x + 2y = 80
x + 2y = 40
___________-
⇔ 3x = 40
⇔ x = [tex] \frac{40}{3} [/tex]

Nilai x = [tex] \frac{40}{3} [/tex], kita substitusikan ke persamaan (a), diperoleh
2x + y = 40
⇔ y = 40 - 2x
⇔ y = 40 - 2([tex] \frac{40}{3} [/tex])
⇔ y = 40 - [tex] \frac{80}{3} [/tex]
⇔ y = [tex] \frac{120}{3} [/tex] - [tex] \frac{80}{3} [/tex]
⇔ y = [tex] \frac{40}{3} [/tex]

Dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik-titik potong dari garis-garis
2x + y = 40 ... (a)
x = 15 ... (c)

Kita substitusikan persamaan (c) ke persamaan (a), diperoleh
2(15) + y = 40
⇔ 30 + y = 40
⇔ y = 40 - 30
⇔ y = 10

Dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik-titik potong dari garis-garis
x + 2y = 40 ... (b)
y = 16 ... (d)

Kita substitusikan persamaan (d) ke persamaan (b), diperoleh
x + 2y = 40
⇔ x + 2(16) = 40
⇔ x + 32 = 40
⇔ x = 40 - 32
⇔ x = 8

Berdasarkan gambar pada lampiran, kita peroleh titik-titik yang kita subtitusikan ke fungsi optimum f(x, y) = 2x + 3y, diperoleh
([tex] \frac{40}{3} [/tex], [tex] \frac{40}{3} [/tex]) →
f(x, y) = 2([tex] \frac{40}{3} [/tex]) + 3([tex] \frac{40}{3} [/tex]) = [tex] \frac{80}{3} [/tex] + [tex] \frac{120}{3} [/tex] = [tex] \frac{200}{3} [/tex] = 66,7

(15, 10) → f(x, y) = 2(15) + 3(10) = 30 + 30 = 60

(8, 16) → f(x, y) = 2(8) + 3(16) = 16 + 48 = 64

Jadi, nilai maksimumnya 66,7 pada titik ([tex] \frac{40}{3} [/tex], [tex] \frac{40}{3} [/tex]) dan nilai minimumnya 60 pada titik (15, 10) dengan menggunakan garis selidik f(x, y) = 2x + 3y.


Semangat!