1+4+7+10+...+(3n-2)=1/2n(3n-1)

Rumus dari deret 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n – 2) = ½ n(3n – 1) adalah terbukti benar untuk setiap n bilangan asli. Rumus tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Ada dua langkah dalam induksi matematika yaitu:

• Buktikan bahwa untuk n = 1 benar.
• Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar.

Diketahui

1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n – 2) = ½ n(3n – 1)

Ditanyakan

Buktikan rumus deret tersebut benar!

Jawab

Langkah 1

Akan dibuktikan untuk n = 1 adalah benar.

 (3n – 2) = ½n(3n – 1)

(3(1) – 2) = ½ (1)(3(1) – 1)

   (3 – 2) = ½ (1)(3 – 1)

            1 = ½ (2)

            1 = 1

Terbukti benar.

Langkah 2

Misal untuk n = k adalah benar, maka berlaku:

• 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k – 2) = ½k(3k – 1)

Langkah 3

Akan dibuktikan untuk n = k + 1, juga benar.

• 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k – 2) + (3(k + 1) – 2) = ½(k + 1)(3(k + 1) – 1)

Pembuktian:

1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k – 2) + (3(k + 1) – 2)

= 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k – 2) + (3k + 3 – 2)

= [1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k – 2)] + (3k + 1)

= [½ k(3k – 1)] + (3k + 1)

= ½ (3k² – k) + 3k + 1

= ½ (3k² – k + 6k + 2)

= ½ (3k² + 5k + 2)

= ½ (k + 1)(3k + 2)

= ½ (k + 1)(3k + 3 – 1)

= ½ (k + 1)(3(k + 1) – 1)

Terbukti

Pelajari lebih lanjut  

1. Materi tentang pembuktian (n + 1)² < 2n² untuk semua bilangan positif n ≥ 3 https://brainly.co.id/tugas/16783128
2. Materi tentang soal induksi matematika brainly.co.id/tugas/13140981
3. Materi tentang pembuktian jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n² brainly.co.id/tugas/12819930

------------------------------------------------    

Detil Jawaban      

Kelas: 11

Mapel: Matematika

Kategori: Induksi Matematika

Kode: 11.2.1

#AyoBelajar #SPJ2